Правила нахождения производных

Глава 6. Математические приложения. 6.1 Функция и графики

Знак производной. Правила нахождения производных

По знаку производной можно судить о направлении изменения функции: если производная положительна, функция растет, если производная отрицательна, функция убывает. Если производная равна нулю, то функция не растет и не убывает. В случае нелинейной функции это означает, что в точке, где производная равна нулю, функция имеет минимум или максимум (математики часто говорят "экстремум" вместо "минимум или максимум"). (Рис.11.)

Правила нахождения производных

Если нам известна исходная функция, мы можем отыскать по ней ее производную. В алгебре существует достаточно много правил отыскания производных, или дифференцирования.

Если с - постоянное число, и f(x), g(x) - некоторые дифференцируемые функции, то справедливы следующие правила дифференцирования:

*Правило константы*	y = C => y' = 0 y = (Cf)' = C (f)'
*Правило суммы*	y = f(x) + g(x) => y' = f '(x) + g'(x)
*Правило умножения*	у = ( fg )' = f 'g+g'f
*Правило деления*
*Правило сложной функции*	если y = f(x), u = g (y), то функция u = g(f(x)) - *сложная функция, или суперпозиция. u' = g(f(x))' = g'(y)f '(x)
*Обратная функция*	если для функции y = f(x) существует *обратная* дифференцируемая функции x = f ^-1(y), то она тоже имеет производную в соответствующей точке: (f ^-1(y))_у=у0=

На основе определения производной и правил дифференцирования можно составить список производных основных элементарных функций.

*f(x)*	*f '(x)*	*f(x)*	*f '(x)*
С	0	sin x	cos x
х^а	ах^а-1	cos x	– sin x
а^х	а^хlna	tg x
е^х	е^х	ctg x
log _a x		arcsin x
		arccos x
		arctg x
		arcctg x

Кроме правил для нахождения производных нужно помнить следующие правила:

1. переменная без показателя степени – это переменная в первой степени (x = x¹);

2. переменная в нулевой степени – это единица (x⁰ = 1).

Например, найти производную функции: y = x² + 3x - 10

y' = (x² + 3x – 10)' = (x² )'+ (3x)' – 10'=2x^2-1 + 3x^1-1 - 0 = 2x¹ + 3x⁰ = 2x + 3